Programme d’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe de première de la voie générale
Bulletin officiel spécial n°1 du 22 janvier 2019
Suites numériques, modèles discrets
Contenus
Exemples de modes de génération d’une suite : explicite $u_n=f(n)$, par une relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$, par un algorithme, par des motifs géométriques. Notations : $u(n)$, $u_n$, $(u(n))$, $(u_n)$.
Capacités attendues
Dans le cadre de l’étude d’une suite, utiliser le registre de la langue naturelle, le registre algébrique, le registre graphique, et passer de l’un à l’autre.
Proposer, modéliser une situation permettant de générer une suite de nombres. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite définie par un motif géométrique, par une question de dénombrement.
Calculer des termes d’une suite définie explicitement, par récurrence ou par un algorithme.
Situation 1 - les pommiers
Scénario pédagogique
Cette activité s’appuie sur un item libéré des évaluations PISA de 2000 et 2003. L’énoncé est court, il n’induit pas la méthode. Pour faire correspondre le nombre de rangées de pommiers avec d’une part, le nombre de conifères et, d’autre part, le nombre de pommiers, les élèves mobilisent leurs connaissances sur les fonctions, ce qui conduit progressivement aux notations $u(n) = 4n+5$ et $v(n)=n^2$. Les démarches pour trouver $u(10)$ , « il faut 4 conifères de plus à chaque étape », permettent de définir une suite par une relation de récurrence.
L’utilisation d’un tableur pour observer l’évolution conduit à comparer deux croissances, l’une plus rapide que l’autre, (linéaire et polynomiale), avec une visualisation graphique.
Situation 2 - Motifs en escalier
Scénario pédagogique
Cette activité s’appuie elle aussi sur un item libéré des évaluations PISA de 2000 et 2003. L’énoncé est court, il n’induit pas la méthode. « Rémy ajoute 2 carrés à l’étape 2, puis trois carrés à l’étape 3 » pose un premier jalon pour la somme des entiers consécutifs et donne une relation de récurrence délicate $u(n) = u(n-1) + n $ ou $u(n+1)=u(n)+n+1$ , qui demande un temps d’appropriation important. Le motif en escalier offre une image et une verbalisation pour y revenir régulièrement « Rémy ajoute $n$ carrés au motif précédent ».
L’utilisation d’un algorithme permet de résoudre ce premier problème de seuil.
Situation 3 – Les nombres oblongs
L’image vient du site de Gérard Villemin NOMBRES - Curiosités, théorie et usages
Cette situation est intéressante pour un travail personnel permettant un retour sur un travail effectué en classe autour des deux premières situations. Les nombres oblongs, produits de deux entiers naturels successifs et les nombres triangulaires sont de bons supports pour la démonstration de la somme des premiers entiers naturels (un nombre oblong est le double d’un nombre triangulaire).
Les motifs géométriques pourront être repris tout au long du travail mené sur les suites.
Ressources
Sur son site Visual Patterns, Fawn Nguyen a mis en ligne ses contributions, puis "and a lot of cool people have contributed to make the site what it is"...
Pour consulter et pour contribuer : http://www.visualpatterns.org/
Le site propose des situations aux difficultés variées, qui peuvent être un levier pour différencier.
La galerie renvoie vers d’autres sites, notamment de vidéos autour de la résolution de ces problèmes.
Qu’elles soient réalisées avec des objets à manipuler, ou dessinées, elles peuvent contribuer à orner les murs.
Expliquer comment on a trouvé le nombre d’objets à l’étape 43 ou donné une formule explicite, amène à partir d’une verbalisation, à différentes formalisations.
L’utilisation des outils numériques, notamment du tableur, permet de trouver la réponse et de construire une formalisation du modèle.
Les motifs géométriques peuvent être des segments, les flocons de Von Koch…